미분방정식-멜서스 인구로

미분방정식 모델

• 우리가 미분방정식을 통해 수리 모델링을 할 경우, 대부분 ‘가정에서부터 연역적으로 모델을 구성’한다.
• 예를 들면 ‘멜서스의 인구모델’을 살펴보자
  • 어떤 생물의 개체 수를 $N$이라고 하고
  • 시간을 나타내는 변수는 $t$라고 하자
  • 이 경우, 개체 수가 증가하는 속도는 $\frac{dN}{dt}$라고 할 수 있다 (개체수의 변화량을 시간의 변화량으로 나눔)
  • 그리고, 개체 수가 증가하는 속도는 해당 시점에 존재하는 개체 수에 비례한다고 하자
  • 사실, 개체 수가 증가하는 속도는 당연히 해당 시점에 존재하는 개체 수에 비례할 것이므로 합리적이다.
• 그렇다면,
  • $\frac{dN}{dt} = rN$ 이라는 식이 나오고 ($r$은 개체가 증식하는 속도를 뜻하는 parameter)
  • 우리가 이 식을 미분방정식으로 푼다면 ($t$에 대한 함수로서 $N$)
    1. $\frac{dN}{N} = r \times dt$ 인데, 여기서 양변을 적분하면
    2. $\int{\frac{1}{N}}{dN} = \int{r}{dt}$
    3. $logN = rt + C$ 인데, 여기서 $log$를 없애면 (N의 경우 엄밀히 절대값이지만 인구수가 음수일 수는 없으므로 절대값 제거)
    4. $N = e^{rt} \times e^C = e^{rt} \times C = Ce^{rt} = N_{0}e^{rt}$ 가 된다. ($C$는 어차피 특정 상수로 정의하므로 굳이 지수함수로 표현할 필요가 없으며, $t=0$일 때, 존재하는 개체수로 볼 수 있으므로)
• 결국, 우리가 구하는 식, $N(t) = N_{0}e^{rt}$가 된다.
  • 물론, 해당 식은 환경 및 자원(해당 변수를 고려하면 로지스틱 함수가 나온다)을 포함한 여러 변수가 고려되지 않았으므로 개체 수 증가를 표현하는 좋은 식이라고 보긴 어렵다.