계량경제학 강의2(한치록)

Updated: October 14, 2020

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2. 단순 선형회귀 모형과 그 해석

$Y = \beta_0 + \beta_1X+u$

위에서 $\beta_0 $은 절편, $ u $는 모든 여타 요소들의 영향 전체를 나타낸다고 하고, $X,Y$의 관계를 교란하기 때문에 교란항 또는 오차항이라고 부른다.
- $ u $는 $X$외 영향을 미치는 모든 요소들의 영향이라고 했는데, $X$이외라는 말이 모호할 수 있다. 왜냐면 무엇이 $X$의 영향이고 아닌지가 명확하게 파악하기 어렵기 때문이다.
- 결국, $u$항은 우리가 인과관계 파악 시, 고정시키고자 하는 요소들이 된다.
위 식에서 $\beta_1$은 여타 모든 요소들의 영향($u$)이 고정될 때 $X$의 한 단위 증가가 $Y$에 미치는 영향을 나타낸다. 그러나 이 인과적 영향을 알아내기가 매우 어렵다.
- 반면 $X$와 $Y$의 결합분포를 알면 알 수 있는 것들도 있다.
- 바로, 조건부 평균 $E(Y X)$.
- 즉 $X$가 주어졌을 때, $Y$의 조건부 평균을 알 수 있다.
$E(Y X)=\alpha_0+\alpha_1X $ 라고 하자
- $\alpha_1 = E(Y X=a+1) - E(Y X=a)$
- $\alpha_0 = E(Y X=0)$
우리가 알고자 하는 인과식은 구하기 어렵지만, 이걸 조건부 평균을 통한 평균 차이를 구하는 식으로 한다면 얘기는 달라진다.

여기에서 만약, $E(u

X) = 0$ 이라면, 결국 모집단의 속성(평균 차이)을 파악하기만 해도 인과적 영향을 알 수 있다.

한 가지 주의할 점은, 우리에게 정보가 아무리 많아도 $u$는 파악할 수 없다는 것이다. 다른 말로 하면 $E(u

X)=0$이라는 것을 알 수 없는 것이다.

계량경제학에서 잘 사용되는 로그의 의미를 잠깐 짚고 가면,
- $log_(x)$가 0.01만큼 증가했다는 $x$가 1% 증가한 것과 거의 비슷하다
이것을 모형해석에 적용해보면
- $Y=\beta_0+\beta_1X+u$ 라면, 다른 요인이 고정됐을 때, $X$의 한 단위 증가는 $Y$의 $\beta_1$단위 증가를 가져온다.
- $Y=\beta_0+\beta_1\log(X)+u$ 라면,다른 요인이 고정됐을 때, $X$의 0.1 증가는 $Y$의 0.1$\beta_1$ 증가를 가져오며, $\log(X)$의 0.1 증가는 $X$의 10% 증가와 근사적으로 같다. 결국 $X$가 10% 증가하면 $Y$는 0.1$\beta_1$ 증가한다.
- $\log(Y)=\beta_0+\beta_1X+u$라면, 다른 요인이 고정됐을 때, $X$의 단위 증가는 $\log(Y)$$$를 $\beta_1$만큼 증가시키며, 따라서 $Y$가 약 100$\beta_1$%증가하도록 한다.
- $\log(Y)=\beta_0+\beta_1\log(X)+u$라면, 다른 요인이 고정됐을 때, $X$의 1% 증가는 $Y$의 $\beta_1%$증가를 초래한다.
위에서 마지막 모형은 $X$에 대한 $Y$의 탄력성을 나타낸다.
- 예를 들어보면, 가격과 수요량의 관계를 $\log(Q)=\beta_0-0.5\log(P)+u$라고 하면, 가격이 1% 상승할 때, 수요량은 0.5% 감소한다
- $log(임금)=\beta_0+0.06학력+u$라고 할 때, 학력이 1년 증가하면, log(임금)은 0.06증가하며, 이는 결국 임금의 약 6%의 증가를 의미한다.

2. 단순 선형회귀 모형과 그 해석